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极坐标下二次积分的几何意义是什么?

发布时间: 2020-09-26 09:20:31 来源: 积分入户 阅读数: 未收录

导语 : 关于这个问题,我觉得挺有意思的,进行了一番深入思考,先给出答案: 二次积分的每一次积分不一定有几何意义。 我先来厘清下要讨论的问题。1 厘清问题在 坐标系下: 这种类似扇

关于这个问题,我觉得挺有意思的,进行了一番深入思考,先给出答案:

二次积分的每一次积分不一定有几何意义。

我先来厘清下要讨论的问题。1 厘清问题在

坐标系下:

这种类似扇形的面积在

坐标下不好求,所以一般都换到极坐标下去求解,因此我们有公式如下:

其中

坐标下的积分区域,

为极坐标下的积分区域。

对于,重积分

,我们一般都可以划为二次积分来进行计算:

2 先给一个直观的回答

想想下面这样一道简单的物理题我们怎么计算:

答案很简单:

其实这个答案的计算方法有很多种:

上面的二次积分就可以进行这样的类比:

所以,代数运算的计算方法有很多,我们没有办法要求所有的计算步骤都有明确的意义。

3 更深入一点的回答

3.1 不同积分区域下算出来的面积不同

要求这个图形的面积:

所以我们把它换到

坐标系:

可是我们就算通过肉眼,通过图像来判断,大概也知道:

我们拿一个圆来算一下就知道了:

这种不相等是怎么造成的呢?

打个不那么恰当的比方,我在

坐标系下计算时,好比使用的是“米”这个单位进行计算,但是在

坐标系下计算时,却使用的是“英尺”这个单位。

因此,在方便的

坐标系下算出的面积,需要通过一次“单位换算”才能得到

坐标系下的面积。

3.2 “单位换算”求解的思路

我们要搞的事情是:

我们需要一个“单位换算”的办法。

之前我在我的回答中反复说过,微积分的基本思想是“线性近似”,正是因为这一特点,让这一复杂的问题变得简单(所以说,可微的函数的性质是多么良好啊):

这就是求解的思路。

3.3 具体的计算

我们知道,行列式是线性变换的伸缩因子(可以参看我的回答:行列式的本质是什么?),因此我们可以得到下面的结论:

这个线性变换的

是多少呢?这就是雅可比矩阵:

计算下极坐标的雅可比行列式是多少:

所以:

准确来讲,

不过是线性变换的伸缩因子,而

代表弧长,具有几何意义,不过是个巧合而已。4 关于换元进一步的例子

前面我们说了,

不过是线性变换的伸缩因子,而

代表弧长,不过是个巧合而已。

下面我举另外一个例子,就可以更清楚的看到这一点:

进行下面这样的坐标变换:

进而得出转换的行列式:

因此有:

可以看出:

5 最后

可以自己拖动下图中绿色的点,感受下在换元过程中,面积微分会如何变化:

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